日前小儿患感冒在医院输液，我在陪护时，看到一位教师模样的人边打点滴边批卷子。这使我不免产生了好奇，与之聊了起来。一问方知她是某校初三数学教师，时间很紧，治疗之后还要赶回学校上课。我不禁为之感动，也为她的学生遇到这样敬业的老师感到庆幸，于是便关注起她批的卷子来。
从我看开始直到判卷结束，看到她在某一道题处都判了错号，我便指着那道题问道：“这道题我看到的好像你都判错了，前边有对的吗？有满分的吗？”“看来没有满分的了，这道题没有答对的。”这位可敬的老师非常沮丧地说。沮丧的语气显示出她判卷过程中的心理历程：当她看到这道题错的学生越多的时候，她越期待她心目中的几位数学尖子能够给她一个惊喜，但直到最后她的希望都落空了。我感觉到她的这种心理落差，想通过聊天给她些安慰和启发，便又说道：“出现了这样普遍性的错误，一定是学生的思维存在某种共性的问题。而对这样共性的问题，老师一般是通过什么办法来解决的呢？”“也没有什么特别的办法，就是平时多练题。这次出这道题也就是为了引起学生的重视了。”老师的答语里又附带着无奈，“可这样的类型题以前的作业里也出现过，只是形式上不一样罢了。”显然这位敬业的老师已经尽力了，但又觉得对于这样的问题无能为力。“要想真正解决问题，必须找到问题产生的真正原因。”我便和她探究起学生错误的根源来。
要探究错误根源，一定要从错误的形式出发，离不开那道题。请读者先做一下：二次函数 y=ax2+bx+c 过二、三、四象限，则a
0、 b 0、 c 0 (请在横线上填上等号或不等号) ，现在，请您先停下来，动手做做这道题，做完再往下看。
前些天，我中心对20多位学习顾问进行培训，他们都是大学生中的佼佼者，让他们做了做这道题。结果，令人遗憾的是没有人完全答对。当然这道题的答案是a＜0,b＜0,c≤0。普遍性的问题出在c的取值范围判断上，考试的和被测试的人均将c可以等于零的解答遗漏了！当一说还有等于零的答案时，几乎所有解答者都明白自己在这个问题上的失误，但为什么会产生这个失误呢，怎样才可以避免这个失误呢？
之所以产生这样的失误，是由于知识的学习过程存在问题。绝大部分学生是在课堂上记住了老师灌输的结果。在二次函数y=ax2+bx+c
中， a＞0则函数图像开口向上，反之则向下； ＞0则函数图像顶点位于y轴左侧，反之则在下侧；c的大小则是x大于等于0时图像和y轴的交点。于是这部分学生解决这道题的思维过程可以再现出来：函数过二、三、四象限，不过第一象限。则图像一定开口向下，因为若开口向上，则二次函数图像右半支是向右上方延伸的，肯定会触到第一象限，所以a<0,同时过二、三、四象限的图像便画了出来
，因为顶点位于第二象限，y轴左侧，则 >0，于是b<0，而x=o时， y<0，而此时y=c，所以得c<0。记得有一次电视报道北京高中生赴日进行学生间交流的节目，一位高中生曾感慨：“日本的数学老师上课很到位，他们在课上详细讲解公式的推导过程，这使学生理解得很到位。而我们的数学老师却只是给我们在黑板上写出公式，让我们记住。”仅仅让学生记住公式显然是不行的，由老师通过过程来导出公式就够了吗？答错题的同学有一些只记住了结果而没有明白其中的要义，有些显然是在老师的讲解过程中理解了a、b、c与图像（方向）支向关系的。但问题就在于学习的过程，它是在老师讲解过程中理解的，而不是自己探索的。
学习过程应该是一个研究的过程，绝不是简单的接受过程。只有对知识的形成过程进行研究，才能发现知识结论和条件之间的关系，也才算真正地掌握知识，真正提高自己的思维能力。从而真正达到培养解决问题能力的目的。
二次函数与图像的关系，是学习中的重点和中考中的难点部分。我们来看看自主学习过程中的研究过程，通过这一过程的再现，如果你能领略到位，则无论你是初中生还是高中生，都能感悟到自主学习的真谛。
二次函数的研究性学习，其基本背景是函数的概念和平方的概念，四维网络学习法中的学习程序第一步是背景的了解。二次函数所需要了解的背景是，数学概念的宏观背景和函数平方的微观背景。数学是研究数与形的存在规律及相关关系的学科，二次函数与图像的关系恰恰对数学概念进行了很好的诠解，而函数自变量和变量之间的一一对应关系、平方及相同数乘积的概念的了解，为我们研究二次函数与图像的关系提供了切实的可能。
在清楚函数的自变量x、变量y与直角坐标系的横轴与纵轴的关系之基础上建立起直角坐标系，就此来研究二次函数y=ax2+bx+c与图像的关系。
入手研究任何一个复杂的问题，往往是从简单的特殊性开始，逐渐过渡到复杂的一般性。去年获数学菲尔滋大奖的澳大利亚华裔年轻数学家陶喆轩说，他其实每天花大量的时间在研究最简单的问题，可见他是深悟其中至理的。
最简单的二次函数就是y=x2我们从它开始，将x分别取0、±1、±2，刚开始为了更清楚地认识，也可以取到±3，则y 的对应是0、1、4、9，于是y=x2的图像连线就可绘出来了。
这时我们会想，为什么 y=x2的图像是开口向上的呢？当然我们知道平方的性质之一，任何数的平方都是非负数，也就是y 非负数，且随着
x 的正负无限增大，y 也变得无穷大，于是 y=x2 的图像向上开口且无限延伸，看起来这是由平方的性质来决定的。但实际因为我们拿出来研究的是一个特例，即
y=a2+bx+c， 在b、c为零、a 为1 的特殊函数y=1x2 ,只不过1被省略了。当1变成别的数会如何呢？即y=ax2
会怎样呢？显然a<0时，ax2<0, 即y=ax2开口向下了。我们可以定量绘出a等于±2,±3时的图像。发现了a的正负跟图像的关系，同时也发现a
的绝对值越大，自变量的平方a 倍的绝对值即y 也越大，则图像更靠近y轴，即开口变小。由是我们得出了a 的符号正负及绝对值的大小与图像的方向和开口大小的关系了。a
对x2的性质和变化速率能起到改变作用。
但上面的结论是在特例中导出的，是否符合一般性结论呢？当然还需要接着研究。基本思路就是能不能将一般性的事物通过变化使之符合特殊形式。显然一般性y=ax2+bx+c与y=ax2
差异很大，前者多出了bx的一次项和c这个常数项，x2 和x的变化趋向并不总是一致的，变量y要对自变量x取两次并一定一至变化的结果之后，再加上常数c才能得到，是不可能判断a是否对整个二次函数的作用的。所以，我们首先想到的是将二次项和一次项聚汇。于是就有了ax2+bx=a(x2+b/a
x)=a(x2+b/2ax+b2/4a2)-b2/4a2=a(x=b/2a)2-b2/4a，所以y=ax2+bx+c=a(x+ )2+(c- ) 。这时，我们已经看到一般性变成特殊性的形式：若命x+
=z c- =d于是 y=az +d。
从图像上看 ，y＝az2＋d只不过是纵轴上在y＝az2 的基础上上移d个单位，若d＜0则上移单位为负值，即下移。由此证明了d即c－
的图像意义。接着研究y＝az2和y＝a
(x＋ )2即可了。显然，若没有特别说明，y＝az2和我们研究过的y＝ax2图像应该是一回事。只不过字母不同罢了，但这里的关系是z＝
x＋ ，所以，原来在x＝0处的原点变成z＝0即x＝－ 时，由是在图像上我们知道，原点左移了 个单位，但 ＜0时，原点负左移即右移了
个单位。研究至此，我们彻底明白了a、b、c和二次函数图像之间的关系。
总结一下研究过程，发现任何研究过程都不可或缺的基本原理：
一、 从特殊性到一般性，从简单入手到全面解决。这其中的原理是不断增加条件的约束，从中考察条件对结果的影响，从而得出一般规律。
二、 从定量到定性。当然，首先看到研究对象大致要确定的性质属类，但一开始不可能明确定性，必须先通过量的研究，如a取值1、2、3等，然后通过渐进性的变化找到其根本的性质。
三、 要素思考和因果思考。要素思考实际上是我所讲的包容性思维，要明确研究对象的角度和内容，因果思考当然是顺沿性思维（有关包容性思维和顺沿性思维我课中讲过，不再缀述，需要者可登录中心网站查看以前期刊），任何一个结果成立的原因一定要弄清楚，不然绝不会运用这个结论解一些复杂问题。
四、 静态研究和动态研究。任何问题在研究时都要固化，如令a＝2时研究y＝ax2的图像，但事物一定是发展变化的。因此，要放在动态趋势上研究，如研究完y＝ax2，再研究完a＝1、2、3时，要去看更大会怎样，能大到多少，反之又如何，这样，就对全貌有了整体把握。
如果学习中有了这些研究习惯，相信任何一道题及已有知识通过你的研究都会准确无误地解决。拿这道都错的题来说，研究者而绝非是套公式的人首先是定性，即明确c和y的关系，显然y＝ax2＋bx＋c在x＝0时，y＝c，这时实际上是明确了因果关系和要素关系。那么c的值就由图像和y轴的交点确定了（定性）。这个交点的变化范围如何呢？由于图像不过第一象限，显然图像和y轴的交点不能大于零，等于零可以吗（逆向思维）？显然等于零和小于零都可以，这句话里包括要素思考和动态研究两方面的含义，结果答准确是必然的。
那些答漏了的同学，归根结底还是没有把学习过程变成研究过程，因此在解题中也是去套搬套用而已。将学习和考试结合的过程才是将今天的学习和未来的工作密切结合的过程。
